十三 鱼羊 发自 凹非寺
量子位 报导 | 大众号 QbitAI
八月的一个清晨，数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩点开了一封来自三位生疏物理学家的邮件。
三人在邮件中解释道：
咱们偶尔发现了一个公式，假如这个公式是正确的，那么它就会在线性代数中一些最根本且重要的目标之间树立一种意想不到的联系。
可是陶哲轩的榜首反响却是：
这么短、这么简略的东西，早就应该出现在教科书里了。这不或许是真的。
其实，陶哲轩历来不喜爱以这种办法被咨询，乃至在他的主页上写下了正告：别拿你的手稿随意打扰我。
但令三位物理学家惊奇的是，仅仅2个小时之后，他们就收到了陶哲轩的回复。
而更意想不到的是，在一周半后，他们还一同宣布了论文，论述了这个公式的证明进程。
是什么样的公式遭到陶哲轩如此喜爱？
求解特征向量。
没错，便是这个再一般不过的根底数学求解公式。
依照传统解法：
核算特征多项式求解特征值求解齐次线性方程组，得出特征向量。
而这三位物理学家在研讨“中微子”的进程中，却意外发现另一种美妙解法：
知道特征值，只需要列一个简略的方程式，特征向量便可便利的处理。
三位物理学家。从左至右：张西宁、Peter Denton和Stephen Parke。
就像陶哲轩所说：
这个公式看起来好得令人难以置信。
我彻底没想过，子矩阵的特征值编码了原矩阵特征向量的躲藏信息。
耶鲁大学数学家Van Vu则用“惊人”和“风趣”两个词来描述这一发现。
一位Hacker News网友乃至以为，这一公式的理论价值在克莱姆规则之上。
注：克莱姆规则是线性代数中的根本定理，用行列式核算出n元一次方程组的解。
新办法怎样来的？
先来回忆下咱们所熟知的特征向量和特征值。
一个矩阵乘以一个向量，就相当于做了一个线性改换。但这个向量的方向往往会发作改动。
但若是存在一个矩阵A，让这个向量v在线性改换后，方向依然坚持不变，仅仅拉伸或许紧缩必定倍数，即：Av=λv。
那么，这个向量v便是特征向量，λ便是特征值。
在现在的教科书里，已知特征向量求特征值十分简单，可是求矩阵的特征值又比求特征向量便利。
但三位物理学家在核算中微子振动概率的时分发现：
特征向量和特征值的几许实质，实践上的意思便是空间矢量的旋转和缩放。而中微子的三个味（电子，μ子，τ子），不就相当于空间中的三个向量之间的改换吗？
中微子振动是一种量子力学现象。试验发现，电子中微子、μ子中微子和μ子中微子这三种中微子之间是能够彼此转化的，而这便是中微子振动现象。
图源：Quantamagazine
物理学家们意识到，特征向量和特征值之间，或许存在更遍及的规则。所以，新公式的面纱被揭开了。
经过删去原始矩阵的行和列，创立子矩阵。
子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一同，就能够核算原始矩阵的特征向量。
简而言之，已知特征值，一个方程式就能够求得特征向量。
图源：Quantamagazine
这个新公式有多牛？
数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩点评道：
新公式的特殊之处是，在任何情况下，你不需要知道矩阵中的任何元素，就能够核算出你想要的任何东西。
证明进程
在陶哲轩的回信中，他还附上了这一新公式的三种证明办法，并在之后和Peter Denton、Stephen Parke、张西宁三位物理学家一同宣布了论文。
先界说A为一个n x n的厄米特矩阵，它具有特征向量λi(A)和赋范特征向量vi。
厄米特矩阵(Hermitian Matrix)能够将特征向量转化为实数，更适用于处理实践世界的问题。
特征向量中的每个元素标记为vi,j。
经过删去jth行和jth列，能够取得A的子矩阵Mj，巨细为(n-1) x (n-1)，它的特征值为λk(Mj)。
首要，经过证明能够取得一个柯西-比内(Cauchy-Binet)型公式。
引理1。让A的一个特征值为0，不失一般性的，能够让λn(A)=0。那么关于恣意巨细为n x (n-1)的矩阵B，咱们咱们能够得到：
接下来就能够进入新公式的推导了。
引理2。特征向量各元素的范数平方与其特征值、子矩阵特征值有关。
所以能够证明：令j=1且i=n。经过λn(A)In转化(shift) A，使得λn(A)=0；这也相同转化了A和Mj中所有剩下的特征值，因而公式2就变为：
留意，公式3的右侧为det(M1)。
接下来，在B=(0，In-1)中运用引理1。咱们发现公式1的左面为
，公式1的右边为det(M1)。
证明：关于恣意不是A的特征值的λ，
关于，j∈[1,n]有，
进一步简化，并取极限λλi(A)，
公式7右边的对角元素供给了公式2的左半部分。经过共轭的界说，公式7左面的对角元素决议了λi(A)In-A的子矩阵。
运用引理2，必定的定论便是，假如特征向量中的一个元素消失，vi,j=0，那么矩阵A的特征向量方程将化为其子矩阵Mj的一个特征向量方程。
这一发现所带来的影响
简而言之，物理学家们的这一最新效果，将使人们能够仅运用特征值信息，核算出特征向量。
而在现在的教科书里，已知特征向量求特征值十分简单，可是求矩阵的特征值又比求特征向量便利。
也便是说，这一效果提醒了根底数学新的实践。
更为重要的是，在实践世界中，无论是在数学、物理学仍是工程学中，许许多多的问题都触及到特征向量和特征值的核算。
比方核算中微子振动概率。
比方在机器学习范畴，数据降维，人脸辨认，都触及矩阵特征值/特征向量理论的实践运用。
俄亥俄州立大学的粒子物理学家John Beacom指出，这一理论运用远景广泛，乃至将翻开新世界的大门。
物理学家和数学天才的协作
被三位物理学家约请，并证明了新公式的数学家是公认的数学天才陶哲轩（Terence Tao）。
陶哲轩
他7岁读高中，9岁上大学，13岁取得世界奥林匹克数学比赛金牌，是IMO金银铜牌最年青得主纪录的坚持者。
24岁，他就成为UCLA数学系终身教授，31岁取得了有“数学界诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖，成为第二位获此荣誉的华裔数学家。
而三位物理学家，一位是美国布鲁克黑文国家试验室的助理物理学家彼得·丹顿（Peter B.Denton）。2016年博士结业于范德比尔特大学物理系。
另一位是新西兰物理学家斯蒂芬·帕克（Stephen J. Parke）。他是美国费米国家加速器试验室的出色科学家和理论物理系主任，专心于中微子物理学和顶夸克物理学研讨。
最终一位作者张西宁（Xining Zhang）相同是华人面孔，就读于芝加哥大学，从事理论粒子物理研讨，是斯蒂芬·帕克的弟子。
传送门
论文地址：
https://arxiv.org/abs/1908.03795
https://arxiv.org/abs/1907.02534
博客地址：
https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/
—完—
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